离散化是排序在「线性降维」上的典型应用：值域很大而只需保留大小关系时，把元素映射为其排序后的名次，将值域压缩到与数组长度同阶，配代码模板与实现要点。

提供离散化的数组与 vector 两种代码模板，包含排序去重、lower_bound 查询映射关系，适用于值域压缩场景。

给定长度为 $N$ 的序列，求满足 $i < j < k$ 且 $a[i] < a[j] < a[k]$ 的三元组个数。$N \le 10^5$，$a_i \le 10^9$。通过枚举中间位置 $j$，利用权值树状数组分别统计左右两侧的可行元素个数，$O(N \log N)$ 解决。

每个人有一种语言，每部电影有语音与字幕两种语言，选择「语音听懂人数最多、并列时字幕听懂人数最多」的电影。先离散化语言编号，用数组统计各语言人数后线性比较，O(n+m) 解决。

NOI 2015 约束满足问题，利用并查集维护相等关系的传递性，离散化压缩变量编号后判定不等约束是否冲突，时间复杂度 O(n α(n))。